operasi aljabar pada polinomial / suku banyak penjumlahan, pengurangan, perkalian dan pembagian

Kalian pasti sudah memahami tentang istilah persamaan kuadrat? Persamaan kuadrat mempunyai bentuk umum yaitu “ax²+bx+c = 0”. Kita tahu bahwa cara menentukan unsur-unsur dari persamaan kuadrat dapat dilakukan dengan cara pemfaktoran, kuadrat sempurna, dll. 

Sehingga diperoleh unsur-unsurnya sebagai berikut: (ax+b)(cx+d) = 0. Lalu pertanyaannya, bagaimana cara menentukan suku-suku persamaan yang pangkatnya lebih dari 2 yaitu ax³+bx²+cx+d = 0? Sistem persamaan yang pangkatnya lebih dari 2 disebut dengan polinomial (suku banyak).

Suatu persamaan polinomial memiliki operasi dasar yang sama dengan sistem persamaan kuadrat yaitu : operasi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian suku banyak. Teorema nya adalah sebagai berikut : jika f(x) dan g(x) berturut-turut adalah suku banyak berderajat m dan n, maka : 

1. f(x) ± g(x) adalah suku banyak berderajat maksimum m atau n. 
2. f(x) x g(x) adalah suku banyak berderajat (m + n). 

 A. Penjumlahan
 

Seperti pada persamaan linear atau persamaan lainnya, suku banyak juga dapat diopersikan secara aljabar. Operasi suku banyak yang akan dibahas pada halaman ini meliputi penjumlahan, pengurangan, dan perkalian. Cara melakukan operasi hitung pada suku banyak sama saja dengan seperti biasa. Hanya saja, operasi hitungnya memperlakukan koefisien yang memiliki nilai variabel sama. Sedangkan cara menghitungnya sama seperti dengan menghitung biasa.

Operasi hitung suku banyak untuk pengurangan mengikuti cara yang sama. Intinya adalah teliti dalam menjumlahkan koefisien dengan variabel yang sama. Perhatikan bahwa koefisien variabel pada f(x) adalah 2 dan koefisien variabel pada g(x) adalah 3. Jumlahkan kedua koefisien varibel , yaitu 3 + 2 = 5, variabel mengikuti, sehingga hasilnya adalah . Pada f(x) tidak memiliki variabel x, nilai koefisiennya adalah nol (0). Sedangkan nilai koefisien untuk variabel x pada g(x) adalah , sehingga hasilnya adalah dengan variabel yang mengikutinya yaitu x, atau biasa hanya ditulis dengan . Langkah yang sama untuk koefisien yang tidak memiliki nilai variabel (variabel ). Selanjutnya simak contoh tentang operasi suku banyak  di bawah ini.

 

Hasil dari operasi penjumlahan X³ + 5X² + 6X – 1 dan 3X³ – 4X² – 8X + 6 adalah

Cara mengerjakannya supaya mudah kita samakan terlebih dahulu semua suku yang sama

= ( x³ + 3x³ ) + ( 5x² – 4x²) + ( 6x – 8x ) + ( -1 + 6 )

Kalo sudah seperti contoh di atas langsung saja angka yg ada dalam kurung kita jumlahkan

= 4x³ + x² -2x + 5

 

 

Sekedar info kenapa X³ + 3X³ = 4X³ karena X³= 1X³ angka 1 dalam hal ini tidak di tulis

B. Pengurangan

Contoh : (3x²-10x+4) - (2x-7)
Jawab : 3x² + (-10x-2x) + (4+7)
             : 3x² - 12x + 11

Mudah bukan....

   Prinsipnya sama dengan penjumlahan pengurangan pada umumnya. Bedanya hanya pada pengoperasian yang hanya bisa di lakukan jika pangkatnya sama.

C. Perkalian polinom.
     Sama seperti penjumlahan dan pengurangan, perkalian polinom memiliki proses yang sama dibanding perkalian biasa.

Cara melakukan operasi hitung untuk perkalian suku banyak berbeda dengan penjumlahan atau pengurangan. Pada penjumlahan atau pengurangan suku banyak, operasi hitungnya dilakukan antar koefisien yang memiliki variabel sama. Pada operasi perkalian untuk dua suku banyak dilakukan pada setiap suku yang ada. Derajat hasil penjumlahan atau pengurangan suku banyak ditentukan berdasarkan derajat tertinggi antara keduanya. Sedangkan derajat hasil perkalian antara dua suku banyak ditentukan dari penjumlahan derajat masing-masing. Misalkan f(x) adalah suku banyak dengan derajat m dan g(x) adalah suku banyak dengan derajat n, derajat hasil perkalian kedua suku banyak tersebut adalah m+n
Kembali ke masalah perkalian dua suku banyak, perhatikan proses perkalian antara f(x) dan g(x) berikut.

Kita langsung saja ke contoh soal supaya bisa lebih memahaminya saya bagikan cara gampangnya:

Contoh 1: hasil dari perkalian ( X² + X – 3 ) ( 2X + 3)

= X² ( 2X + 3 ) + X( 2X + 3) -3( 2X + 3 )

= 2X³ + 3X² + 2X² + 3X - 6X – 9

= 2X³ + 5x² – 3x – 9

Contoh 2 : (2x³+x-3)(4x+6)
     Jawab.  : (2x³.4x)+(2x³.6)+(x.4x)+(x.6)+(-3.4x)+(-3.6)
              =  8x⁴+12x³+4x²+6x-12x-18
              = 8x⁴ + 12x³ + 4x² - 6x - 18

Gampang kan.....

D. Pembagian polinomial
    Nah... Ini adalah bagian tersulit dari operasi polinom. Ini adalah cara pembagian polinomial...
Bilangan polinomial bisa dibagi dengan beberapa cara, yaitu cara metode substitusi , cara horner, dan pembagian bersusun . namun pada artikel inikita bahas metode substitusi dan horner terlebih dahulu

Metode Substitusi

Untuk menjelaskan metode substitusi ini, saya akan menggunakan bentuk suku banyak yang berderajat tiga. Misalkan Misalkan suku banyak f(x) = ax³ + bx² + cx + d. Jika kita ingin mencari nilai f(x) untuk x = k, maka nilai x pada fungsi suku banyak kita ganti k, sehingga didapat nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f(k) = ak³ + bk² + ck + d. Hal ini berlaku juga untuk suku banyak berbeda derajat lainnya.

Agar lebih memahami tentang cara substitusi ini, perhatikanlah contoh soal berikut ini.

Contoh 1
Tentukan nilai suku banyak berikut ini untuk nilai x yang diberikan.
f(x) = 2x³ + 4x² – 18 untuk x = 5

Penyelesaian

f(x) = 2x³ + 4x² – 18
f(3) = 2 (5)³ + 4 (5)² - 18
f(3) = 2 (125) + 4 (25) - 18
f(3) = 250 + 100 - 18
f(3) = 332
Jadi, nilai suku banyak f(x) untuk x = 5 adalah 332

Metode Skema

Metode skema dikenal juga dengan metode Bangun, Horner, ataupun sintetik. Untuk menunjukkan bagaimana konsep metode ini, dalam hal ini akan digunakan kembali suku banyak berderajat 3. Bentuk penyelesaian dalam menentukan nilai suku banyak f(x) = ax³ + bx² + cx + d untuk nilai x = k dengan cara skema dapat dinyatakan seperti berikut ini.

Dimana, ak³ + bk² + ck + d merupakan nilai dari suku banyak yang dicari. Cara ini, berlaku juga untuk suku banyak berderajat lainnya. Untuk lebih memahami tentang cara ini, perhatikan dan pahami contoh soal beserta pembahasanya berikut ini.

 Contoh : 3x³+x+7 dibagi dengan (x-2) berapa hasil bagi dan sisanya..
Jawab: untuk mecari hasil bagi kita gunakan horner...
Caranya tulis semua angka yang ada tanpa variabel, termasuk angka yang hilang. (Penting!!. Angka yang hilang maksutnya dari contoh diatas 3x³+x+7 ... Nah menurut aturan polinom pangkat harus urut sampai pangkat nol. Jadi dari contoh diatas penulisan lengkapnya adalah 3x³+0x²+x+7)

Tulis semua angka

     3  0  1  7

Setelah itu beri garis tanda...
|3   0    1    7
|______________+

Tentukan pembaginya...
(X-2) sama dengan x-2 = 0, jadi x=2

x=2 | 3      0      1      7
        |__________________+

Turunkan angka pertama. Dan kalikan dengan pembagi lalu tulis di bawah angka ke dua.

x=2 | 3      0      1      7
        |         6     12.   26
        |__________________+

           3.     6.     13    33

Nah dari hasil diatas. Angka terkhir adalah sisa bagi yaitu 33.

Sementara hasilnya 3x²+ 6x + 13

Selesai sudah...