soal dan pembahasan persamaan trigonometri bentuk kuadrat matematika minat kelas xi (1)

 pada materi yang lalu kita membahas cara persamaan kuadrat dalam bentuk trigonometri , pada artikel ini kita latihan soal soal persamaan trigonometri bentuk kuadrat. sebelum kepembahsannya kalian lihat identitas trigonometri terlebih dahulu 

soal soal pembahasan  persamaan trigonometri bentuk kuadrat

1.  Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin² x + sin x = 0, untuk 0 < x < 360^o.

Jawaban:

2 sin² x + sin x = 0

sin x (2sin x + 1) = 0

sin x = 0  atau    2sin x + 1 = 0

Selanjutnya kita cari penyelesaian satu persatu.

(i) sin x = 0, diperoleh sin x = sin 0, sin 360^o

     Dengan demikian diperoleh x = 0, 360^o

(ii) 2sin x + 1 = 0

          2sin x  = -1

            sin x  = -1/2

            sin x  = sin 120^o, sin 240^o

     Dengan demikian diperoleh x =  120^o, 240^o

Jadi, nilai x yang memenuhi adalah x = 0, 120^o, 240^o, 360^o

2. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin² x + 3sin x + 1 = 0, untuk 0 < x < 360^o.

Jawaban:

2 sin² x + 3sin x + 1 = 0   Ingat bentuk identik dengan 2p² + 3p + 1

Selanjutnya difaktorkan

Ingat : 2p² + 3p + 1 = (2p + 1)(p + 1)

Dengan demikian bentuk trigonometri di atas dapat difaktorkan menjadi:

(2sin x + 1)(sin x + 1) = 0

2sin x + 1 = 0  atau    sin x + 1 = 0

Selanjutnya kita cari penyelesaian satu persatu.

(i) sin x + 1 = 0

         sin x  = -1

          sin x = sin 270^o

     Dengan demikian diperoleh x = 270^o

(ii) 2sin x + 1 = 0

          2sin x  = -1

            sin x  = -1/2

            sin x  = sin 120^o, sin 240^o

     Dengan demikian diperoleh x =  120^o, 240^o

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan 2 sin² x + 3sin x + 1 = 0   adalah x = 120^o, 240^o, 270^o

^3. Tentukan nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos² x + 7 cos x – 4 = 0, untuk 0 < x <360^o.

Jawaban:

2 cos² x + 7 cos x – 4 = 0   Ingat bentuk identik dengan 2p² + 7p – 4 = 0

Selanjutnya difaktorkan

Ingat : 2p² + 7p – 4 = (2p - 1)(p + 4)

Dengan demikian bentuk trigonometri di atas dapat difaktorkan menjadi:

(2cos x - 1)(cos x + 4) = 0

2cos x – 1 = 0  atau    cos x + 4 = 0

Selanjutnya kita cari penyelesaian satu persatu.

(i) 2cos x – 1 = 0

          2cos x  = 1

            cos x  = 1/2

             cos x = cos 60^o, cos 300^o

     Dengan demikian diperoleh x = 60^o, 300^o

(ii) cos x + 4 = 0

          cos x  = -4

      Tidak ada nilai x yang memenuhi.

Jadi, nilai x yang memenuhi persamaan 2 cos² x + 7 cos x – 4 = 0 adalah x = 60^o, 300^o.

4.  Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos 2x - 3sin xo

 - 1 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360!

Jawaban:

cos 2xo - 3sin xo - 1 = 0

1 - 2sin2 xo - 3sin xo - 1 = 0
- 2sin2 xo - 3sin xo${}^o$= 0
- sin xo (2sin xo + 3) = 0
(tidak dilakukan pemisalan p, karena persamaan sudah sederhana)

-sin xo = 0 atau  2sin xo + 3 = 0

 sin xo = 0            sin xo = -32$\frac{3}{2}$

Jika,(i)  

sin xo = 0 maka sin xo = 0

Untuk, x = 0o + k × 360o
k = 0 → x = 0o + 0 × 360o = 0o
k = 1  → x = 0o + 1 × 360o = 360o

Untuk, x = (180o - 0o) + k × 360o
k = 0 → x =(180o - 0o) + 0 × 360o = 180o

Jika(ii) 

sin x = -32$\frac{3}{2}$, persamaan tidak mempunyai penyelesaian karena sin x < -1

Jadi, himpunan penyelesaianya adalah {0o, 180o, 360o}

5. Tentukan Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri 2cos

2 2xo + 2sin2$2^{}$ xo - 1 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 2𝞹!

Jawaban:

2cos2 2x + 2sin2 x - 1 = 0
2cos2 2xo - (1 - 2sin2 xo) = 0
2cos2 2xo - cos2 2xo = 0
cos 2xo(2cos 2xo - 1) = 0

cos 2xo = 0 atau 2cos 2xo - 1 = 0

(i) Jika cos 2xo = 0 maka cos 2xo = 𝞹2$\frac{𝞹/2}{}$

Untuk 2x = 𝞹2$\frac{𝞹/}{2}$ + k × 2𝞹 atau x = 𝞹4$\frac{𝞹/}{4}$ + k × 𝞹
k = 0 → x = 𝞹4$\frac{𝞹/}{4}$ + 0 × 2𝞹 = 𝞹4$\frac{𝞹/}{4}$
k = 1  → x = 𝞹4$\frac{𝞹/}{4}$ + 1 × 𝞹 = 5𝞹4$\frac{5𝞹/}{4}$

Untuk 2x = -𝞹2$\frac{𝞹/}{2}$ + k × 2𝞹 atau x = -𝞹4$\frac{𝞹/}{4}$ + k × 𝞹
k = 1 → x = -𝞹4$\frac{𝞹/}{4}$ + 1 × 𝞹 = 3𝞹4$\frac{3𝞹/}{4}$
k = 2  → x = -𝞹4$\frac{𝞹/}{4}$ + 2 × 𝞹 = 7𝞹4$\frac{7𝞹/}{4}$

(ii )Jika cos 2xo = 12$\frac{\mathrm{1/}}{2}$ maka cos 2xo = 𝞹3$\frac{𝞹/}{3}$
Untuk 2x = 𝞹/3 + k × 2/𝞹 atau x = 𝞹/6 + k × 𝞹

k = 0 → x = 𝞹/6+ 0 × 𝞹 = 𝞹/6

k = 1  → x = 𝞹/6 + 1 × 𝞹 = 7𝞹/6

Untuk 2x = -𝞹/3 + k × 2𝞹 atau x = -𝞹/6 + k × 𝞹

k = 1 → x = -𝞹/6 + k × 𝞹 = 5𝞹/6
k = 2  → x = -𝞹/6 + 2 × 𝞹 = 11𝞹/6

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {𝞹6, 𝞹4$\frac{𝞹/}{4}$, 3𝞹4$\frac{3𝞹/}{4}$, 5𝞹6$\frac{5𝞹/}{6}$, 7𝞹6$\frac{7𝞹/}{6}$, 5𝞹4$\frac{5𝞹/4}{}$, 7𝞹4$\frac{7𝞹/}{4}$, 11𝞹6$\frac{11𝞹/}{6}$}

soal dan pembahasan berikutnya ada di artikel selanjutnya