soal dan pembahasan persamaan trigonometri bentuk kuadrat matematika minat kelas xi (2)

 soal dan pembahasan persamaan trigonometri bentuk kuadrat ini lanjutan artikel sebelumnya 

1.Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tan x

o + cot xo = -2 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360!

Penyelesaian

tan xo + cot xo = -2

tan xo + 1tanxo = -2

tan2${}^2$ xo + 1 = -2tan xo

tan2${}^2$ xo + 2tan xo + 1 = 0

(tan xo + 1)2 = 0

tan xo + 1 = 0

tan xo = -1

tan xo = 135o

x =  135o + k × 180o

k = 0 → x = 135o + 0 × 180o = 135o

k = 1  → x = 135o + 1 × 180o = 315o

Jadi, himpunan penyelesaianya adalah {135o, 315}

 

2. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri cos2x-cos x- 2 = 0 pada interval 0 ≤ x ≤ 360!

Penyelesaian

Misalkan cosx= a maka persamaanya dapat ditulis menjadi
a2 - a - 2 = 0
(a + 1)(a - 2) = 0
a = -1 atau a = 2

Jika p = -1, maka
cos x = -1
cosx = cos 180o
Untuk, x = 180o + k × 360o
k = 0 → x = 180o + 0 × 360o = 180o
Untuk, x = -1800o + k × 360o
k = 1 → x = -1800o+ 1 × 360o= 180o

Untuk  a = -2, maka tidak digunakan karena nilai sin/cos terbatas antara -1 sampai 1.
Jadi, penyelesaiannya adalah {180o}

3. Tentukan Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri 2 cos22x+2sin2x - 1 = 0 dalam interval 0 ≤ x ≤ 𝞹!

Penyelesaian

2cos2 2xo + 2sin2 xo - 1 = 0
2cos2 2xo - (1 - 2sin2 xo) = 0
2cos2 2xo - cos2 2xo = 0
cos 2xo(2cos 2xo - 1) = 0
cos 2xo = 0 atau cos 2xo = 12

Jika cos 2x o = 0
 cos 2xo${}^o$ = cos 𝞹2$\frac{𝞹}{2}$

Untuk 2x = 𝞹2$\frac{𝞹}{2}$ + k × 2𝞹 atau x = 𝞹4$\frac{𝞹}{4}$ + k × 𝞹
k = 0 → x = 𝞹4$\frac{𝞹}{4}$ + 0 × 𝞹 = 𝞹4$\frac{𝞹}{4}$
k = 1  → x = 𝞹4$\frac{𝞹}{4}$ + 1 × 𝞹 = 5𝞹4$\frac{5𝞹}{4}$
Untuk 2x = -𝞹2$\frac{𝞹}{2}$ + k × 2𝞹 atau x = -𝞹4$\frac{𝞹}{4}$ + k × 𝞹
k = 1 → x = -𝞹4$\frac{𝞹}{4}$ + 1 × 𝞹 = 3𝞹4$\frac{3𝞹}{4}$
k = 2  → x = -𝞹4$\frac{𝞹}{4}$ + 2 × 𝞹 = 7𝞹4$\frac{7𝞹}{4}$ 

Jika cos 2xo${}^o$ = 12$\frac{1}{2}$
 cos 2xo${}^o$ = cos 𝞹3

Penyelesaian 1
Untuk 2x = 𝞹3 + k × 2𝞹 atau x = 𝞹6 + k × 𝞹
k = 0 → x = 𝞹6 + 0 × 𝞹 = 𝞹6
k = 1  → x = 𝞹6 + 1 × 𝞹 = 7𝞹6 (Tidak Memenuhi)

Penyelesaian 2
Untuk 2x = -𝞹3 + k × 2𝞹 atau x = -𝞹6+ k × 𝞹
k = 1 → x = -𝞹6 + 1 × 𝞹 = 5𝞹6
k = 2  → x = -𝞹6 + 2 × 𝞹 = 11𝞹6 (tidak digunakan lagi karena sudah diluar interval.

HP= {𝞹6, 𝞹4, 3𝞹4, 5𝞹6}

4. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri tan x + cot x = -2 dalam interval 0 ≤ x ≤ 360o!

Penyelesaian

tan x + cot x = -2

tan x + 1tanx$\frac{1}{tanx}$ = -2

tan2 x+ 1 = -2tan x

tan2 x + 2tan x + 1 = 0

(tan x + 1)2  = 0

tan x+ 1 = 0

tan x= -1

tan x = 135o

x =  135o + k × 180o

k = 0 → x = 135o + 0 × 180o = 135o

k = 1  → x = 135o + 1 × 180o = 315o

Jadi, himpunan penyelesaianya adalah {135o, 315o}

5.Tentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri 4sin2x – 4sin x – 3 = 0  dalam interval 0 ≤ x ≤ 360o!

 

Penyelesaian

Dimisalkan Y= sin x

4Y2 – 4Y – 3 = 0

(2Y – 3)(2Y+1)=0

2Y- 3 =0 atau 2Y + 1 = 0

 y = 3/2  atau y = -1/2

Dikembalikan ke trigonometri

 y = 3/2  tidak ada, mengapa??

y = -1/2  ada

 sin x =-1/2 

sin x = 210o

x= 210o  + K.360o  

k= 0 ------> x= 210o  + 0.360o  

                          

                      =210o 

k= 1------> x= 210o  + 1.360o  

x= (180-210o ) + K.360o  

x = -30  + K.360o  

k= 1------> x= -30  + 1360o  

                          

                      =330o 

Jadi Himpunan penyelesaiannya adalah {210o, 330o}